Matris cebir hatırlatma

Matris hatırlatma

3x3 bir A matrisi tanımlayalım

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}]$ Bir de genel yazılımı göstermek için çok satırlı ve çok sütunlu bir B matrisi gösterelim.

$B = [\begin{matrix} b_{1, 1} & b_{1, 2} & b_{1, 3} & . . . & b_{1, k} \\ b_{2, 1} & b_{2, 2} & b_{2, 3} & . . . & b_{2, k} \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ b_{n, 1} & b_{n, 2} & b_{n, 3} & . . . & b_{n, k} \end{matrix}]$

A matrisinin 2. satırını yazmak isterseniz aşağıdaki notasyonu kullanmanız gerekir.

$A_{2}^{s a t ı r} = [\begin{matrix} 4 & 5 & 6 \end{matrix}]$ A matrisinin 3. sütununu yazmak isterseniz aşağıdaki notasyonu kullanmanız gerekir.

$A_{3}^{s ü t u n} = [\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{matrix}]$

Daha genel yazılımı kullanmak istersek, mesela B matrisinin i’nci satırını yazalım.

$B_{i}^{s a t ı r} = [\begin{matrix} b_{i, 1} & b_{i, 2} & b_{i, 3} & . . . & b_{i, k} \end{matrix}]$ mesela B matrisinin j’nci sütununu yazalım.

$B_{j}^{s ü t u n} = [\begin{matrix} b_{1, j} \\ b_{2, j} \\ . . . \\ . . . \\ b_{n, j} \end{matrix}]$ ## Toplama işlemi

Matrislerde toplama yapabilmek için, toplaması yapılacak matrislerin boyutları eşit olmalıdır. Örneğin A matrisimizin boyutu 3x3, yani 3 satır ve 3 sütunu var. Elimizde bir başka 3x3 matris varsa, bu ikisi direk toplanabilir. Örneğin 3x3 bir C matrisi düşünelim.

$C = [\begin{matrix} 0.1 & 0.2 & 0.3 \\ 0.4 & 0.5 & 0.6 \\ 0.7 & 0.8 & 0.9 \end{matrix}]$

O zaman A + C

$A + C = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0.1 & 0.2 & 0.3 \\ 0.4 & 0.5 & 0.6 \\ 0.7 & 0.8 & 0.9 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1.1 & 2.2 & 3.3 \\ 4.4 & 5.5 & 6.6 \\ 7.7 & 8.8 & 9.9 \end{matrix}]$ olur.

Daha genel göstermek istersek B matrisiyke nxk olan bir D matrisini toplayabiliriz.

$D = [\begin{matrix} d_{1, 1} & d_{1, 2} & d_{1, 3} & . . . & d_{1, k} \\ d_{2, 1} & d_{2, 2} & d_{2, 3} & . . . & d_{2, k} \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ d_{n, 1} & d_{n, 2} & d_{n, 3} & . . . & d_{n, k} \end{matrix}]$

$B + D = [\begin{matrix} b_{1, 1} & b_{1, 2} & b_{1, 3} & . . . & b_{1, k} \\ b_{2, 1} & b_{2, 2} & b_{2, 3} & . . . & b_{2, k} \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ b_{n, 1} & b_{n, 2} & b_{n, 3} & . . . & b_{n, k} \end{matrix}] + [\begin{matrix} d_{1, 1} & d_{1, 2} & d_{1, 3} & . . . & d_{1, k} \\ d_{2, 1} & d_{2, 2} & d_{2, 3} & . . . & d_{2, k} \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ d_{n, 1} & d_{n, 2} & d_{n, 3} & . . . & d_{n, k} \end{matrix}]$

$B + D = [\begin{matrix} b_{1, 1} + d_{1, 1} & b_{1, 2} + d_{1, 2} & b_{1, 3} + d_{1, 3} & . . . & b_{1, k} + d_{1, k} \\ b_{2, 1} + d_{2, 1} & b_{2, 2} + d_{2, 2} & b_{2, 3} + d_{2, 3} & . . . & b_{2, k} + d_{2, k} \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ b_{n, 1} + d_{n, 1} & b_{n, 2} + d_{n, 2} & b_{n, 3} + d_{n, 3} & . . . & b_{n, k} + d_{n, k} \end{matrix}]$ şeklinde yazılabilir.

Herhangi bir matris, başka bir sayıyla direk çarpılabilir. Örneğin A matrisimizi 5 sayısıyla çarparsak

$5 \cdot A = [\begin{matrix} 5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 3 \\ 5 \cdot 4 & 5 \cdot 5 & 5 \cdot 6 \\ 5 \cdot 7 & 5 \cdot 8 & 5 \cdot 9 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 & 10 & 15 \\ 20 & 25 & 30 \\ 35 & 40 & 45 \end{matrix}]$

sonucunu verecektir. Eğer iki matrisi çarpmak istersek ilk martisin sütun sayısıyla, ikinci matrisin satır sayısı eşit olmak zorundadır. Örneğin A ve C matrislerini çarparsak

$A \cdot C = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 0.1 & 0.2 & 0.3 \\ 0.4 & 0.5 & 0.6 \\ 0.7 & 0.8 & 0.9 \end{matrix}]$

$A \cdot C = [\begin{matrix} A_{1}^{s a t ı r} \cdot C_{1}^{s ü t u n} & A_{1}^{s a t ı r} \cdot C_{2}^{s ü t u n} & A_{1}^{s a t ı r} \cdot C_{3}^{s ü t u n} \\ A_{2}^{s a t ı r} \cdot C_{1}^{s ü t u n} & A_{2}^{s a t ı r} \cdot C_{2}^{s ü t u n} & A_{2}^{s a t ı r} \cdot C_{3}^{s ü t u n} \\ A_{3}^{s a t ı r} \cdot C_{1}^{s ü t u n} & A_{3}^{s a t ı r} \cdot C_{2}^{s ü t u n} & A_{3}^{s a t ı r} \cdot C_{3}^{s ü t u n} \end{matrix}]$

Çarpımın sonunda yine 3x3 bir matris elde etmiş oluruz.

$\begin{matrix} (1 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.4 + 3 \cdot 0.7) & (1 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.8) & (1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.6 + 3 \cdot 0.9) \\ (4 \cdot 0.1 + 5 \cdot 0.4 + 6 \cdot 0.7) & (4 \cdot 0.2 + 5 \cdot 0.5 + 6 \cdot 0.8) & (4 \cdot 0.3 + 5 \cdot 0.6 + 6 \cdot 0.9) \\ (7 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.4 + 9 \cdot 0.7) & (7 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.5 + 9 \cdot 0.8) & (7 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.6 + 9 \cdot 0.9) \end{matrix}$ $A \cdot C = [\begin{matrix} 3 & 3.6 & 4.2 \\ 6.6 & 8.1 & 9.6 \\ 10.2 & 12.6 & 15 \end{matrix}]$ Eğer A matrisimiz 3 satırlı ve iki sütunlu olsaydı, C matrisinin 2 satırlı olma mecburiyeti vardı. Diyelim ki C matrisinin boyutu 2x4, yani iki satırlı ve 4 sütunlu bir matris. Bu durumda, A çarpı C bize 3x2 ve 2x4 boyutlu matrisleri çarptığımız için, 3x4 boyutlu bir matris vermek zorundaydı.

Bir matrisin transpozisyonunu (transpose) almak ya T harfiyle ya da ′ işaretiyle gösterilir. Satır ve sütun yer değiştirir.

$C^{T} = [\begin{matrix} 0.1 & 0.4 & 0.7 \\ 0.2 & 0.5 & 0.8 \\ 0.3 & 0.6 & 0.9 \end{matrix}]$

Bazı Önemli Özellikler

$A + B = B + A$

$A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C$

$A (B + C) = A B + A C$

$(B + C)^{T} = B^{T} + C^{T}$

$(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$

Özel Matrisler

Kare matrisler: Satır ve sütun sayısı aynı olan matrislerdir.
Simetrik matrisler: Transpozisyonuyla aynı olan matrislerdir. $A = A^{T}$ dolayısıyla kare matristir.
Diagonal matrisler: Diagonalı dışında kalan kısmı sıfır olan simetrik matrislerdir.
Birim matrisler: Diagonal öğeleri bir olan diagonal matrislerdir.

Matrisin İzi (Trace)

Bir matrisin izi diagonal elementlerinin toplamıyla bulunur.

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}]$

$t r (A) = 1 + 5 + 9 = 15$

Matrisin İzinin (Trace) Özellikleri

$t r (c \cdot A) = c \cdot t r (A)$

$t r (A^{T}) = t r (A)$

$t r (B + C) = t r (C) + t r (B)$

$t r (I_{n}) = n$

$t r (A B) = t r (B A)$

Matrisin Tersi

Bir matrisin başka bir matrisle çarpımı birim matris veriyorsa bu iki matris birbirlerinin tersidir.

$A B = I$ ise

$B = A^{- 1}$ dir.

Ters matrislerin özellikleri

$(A C)^{- 1} = C^{- 1} A^{- 1}$

$ (A^T){-1} = (A^{-1})T $

Determinant

nxn A matrisinin determinantı, $| A |$ ya da $det (A)$ şeklinde gösterilir.

$| A | = \sum (- 1)^{j + 1} \cdot a_{1 j} \cdot | A_{i j} |$ $A_{i j}$ matrisi, A matrisinin i satırının ve j sütunun çıkarılmış halidir.

2x2 matrisin determinantı

2x2 bir A matrisi düşünelim

$A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}]$

$| A | = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$

$A = [\begin{matrix} 3 & 4 \\ 2 & 7 \end{matrix}]$

$| A | = 3 \cdot 7 - 2 \cdot 4 = 13$

3x3 matrisin determinantı

3x3 bir A matrisi düşünelim

$A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}]$

$| A | = \sum (- 1)^{j + 1} \cdot a_{1 j} \cdot | A_{i j} |$

$| A | = (- 1)^{1 + 1} \cdot a_{11} \cdot | A_{11} | + (- 1)^{1 + 2} \cdot a_{12} \cdot | A_{12} | + (- 1)^{1 + 3} \cdot a_{13} \cdot | A_{13} |$ $A_{11} = [\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}]$ $A_{12} = [\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}]$ $A_{13} = [\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}]$ $A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}]$ $| A | = (- 1)^{1 + 1} \cdot a_{11} \cdot | A_{11} | + (- 1)^{1 + 2} \cdot a_{12} \cdot | A_{12} | + (- 1)^{1 + 3} \cdot a_{13} \cdot | A_{13} |$ $| A | = (- 1)^{2} \cdot 1 \cdot | A_{11} | + (- 1)^{3} \cdot 2 \cdot | A_{12} | + (- 1)^{4} \cdot 3 \cdot | A_{13} |$ $| A | = | [\begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix}] | - 2 \cdot | [\begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix}] | + 3 \cdot | [\begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix}] |$ $| A | = (5 \cdot 9 - 8 \cdot 6) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 7 \cdot 6) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 7 \cdot 5)$

$| A | = (45 - 48) - 2 \cdot (36 - 42) + 3 \cdot (32 - 35)$

$| A | = - 3 - 2 \cdot (- 6) + 3 \cdot (- 3) = - 3 + 12 - 9 = 0$

Determinantın özellikleri

$| A | = | A^{T} |$ nxn alt üçgensel veya üst üçgensel matrislerin determinantı diagonal elemetlerin çarpımıdır.

$| A | = Π_{i = 1}^{n} a_{i i}$

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 9 \end{matrix}]$

$| A | = 1 \cdot 5 \cdot 9 = 45$

$| α \cdot A | = α^{n} \cdot | A |$

$| A \cdot B | = | A | \cdot | B |$

$| A^{- 1} | = \frac{1}{| A |}$

Adjoint (katımlı) matris

Bir A matrisinin adjoint matrisi, A matrisinin her elamanının yerine $(- 1)^{i + j} \cdot | A_{i j} |$ yazılarak bulunur. adj(A) ile gösterilir.

A matrisinin tersi,

$A^{- 1} = \frac{1}{| A |} \cdot a d j (A)$ ile bulunur.

Bir matrisin tersi olabilmesi için $| A |$ sıfır’a eşit olmamalıdır.

$A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}]$

$a d j (A) = [\begin{matrix} (- 1)^{1 + 1} \cdot | A_{11} | & (- 1)^{1 + 2} \cdot | A_{12} | & (- 1)^{1 + 3} \cdot | A_{13} | \\ (- 1)^{2 + 1} \cdot | A_{21} | & (- 1)^{2 + 2} \cdot | A_{22} | & (- 1)^{2 + 3} \cdot | A_{23} | \\ (- 1)^{3 + 1} \cdot | A_{31} | & (- 1)^{3 + 2} \cdot | A_{32} | & (- 1)^{3 + 3} \cdot | A_{33} | \end{matrix}]$

$a d j (A) = [\begin{matrix} | A_{11} | & - | A_{12} | & | A_{13} | \\ - | A_{21} | & | A_{22} | & - | A_{23} | \\ | A_{31} | & - | A_{32} | & | A_{33} | \end{matrix}]$

$a d j (A) = [\begin{matrix} | [\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}] | & - | [\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}] | & | [\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}] | \\ - | [\begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}] | & | [\begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}] | & - | [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}] | \\ | [\begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{matrix}] | & - | [\begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{matrix}] | & | [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}] | \end{matrix}]$

$a d j (A) = \begin{matrix} (a_{22} \cdot a_{33} - a_{32} \cdot a_{23}) & - (a_{21} \cdot a_{33} - a_{31} \cdot a_{23}) & (a_{21} \cdot a_{32} - a_{31} \cdot a_{22}) \\ - (a_{12} \cdot a_{33} - a_{32} \cdot a_{13}) & (a_{11} \cdot a_{33} - a_{31} \cdot a_{13}) & - (a_{11} \cdot a_{32} - a_{31} \cdot a_{12}) \\ (a_{12} \cdot a_{23} - a_{22} \cdot a_{13}) & - (a_{11} \cdot a_{23} - a_{21} \cdot a_{13}) & (a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12}) \end{matrix}$

Cramer Kuralı (Cramer’s rule)

Bir eşitlikler kümesi matris şeklinde gösterilip çözülebilir.

$3 \cdot x_{1} + x_{2} + 2 \cdot x_{3} = 11$ $2 \cdot x_{1} + x_{3} = 5$

$x_{2} + 3 \cdot x_{3} = 11$

Bu üç eşitlik matris formunda şu şekilde yazılabilir.

$A x = b$ $A = [\begin{matrix} 3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix}]$

$x = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]$ $b = [\begin{matrix} 11 \\ 5 \\ 11 \end{matrix}]$

Cramer kuralına göre bilinmeyen x’ler b vektörünün A matrisinde gerekli sütununa yazılarak bulunacak ikinci bir matris yardımıyla bulunabilir.

$x_{1} = \frac{| A |}{| A_{1} |}$ $x_{2} = \frac{| A |}{| A_{2} |}$

$x_{3} = \frac{| A |}{| A_{3} |}$

A matrisinin determinantını bulmayı biliyoruz. $A_{1}$ matrisini bulmamız lazım.

$A_{1} = [\begin{matrix} 11 & 1 & 2 \\ 5 & 0 & 1 \\ 11 & 1 & 3 \end{matrix}]$ $A_{1}$ matrisi, 1. sütunun yerine, b vektörünün yazılmasıyla bulunur. Bu iki matrisin detarminantlarının bölümü çözümü verir.

Ödev

x vektörünün çözümlerini Cramer kuralıyla bulun.

matrisler

Last updated on Dec 1, 2020